Если был забронирован отель в Будапеште и после получения визы в Венгрию отменён и заново забронирован, но на более короткий срок, тоже могут быть проблемы?

Не поможет, если она короче

А если одобрен шенген, на несколько дней в другую страну нельзя уезжать?

@Катя: Вам одобрили поездку. Если выяснится, что вы подали ложные сведения в заявке, визу отберут, оштрафуют, запрет на визы. С каждым годом получение виз сложнее. Вам это надо? Экономия в три дня цены отеля? Если поймают, будут проблемы. Изучайте, как не попасться

Насколько это сейчас частая история, есть информация? Какие то случаи может быть? Как быстро они реагируют?

@Soer: У меня вчера вот было :) Аннулировали

@Max: А какое консульство?

@Soer: СПб