Может ли кто-то посоветовать аренду автомобилей в Венгрии, Будапеште чтобы поездить по близлежащим странам ЕС и вернуть в Будапеште обратно машину?

Нет. Но могу порекомендовать взять мву и кредитную карту на свое имя (не российскую). В целом - дорого, но классика - крупные европрокаты вроде Avis / hertz / sixt etc - они все присутствуют.

В районе аэропорта есть куча других. Мне лично klasswagen зашел

Но там есть нюанс с прилежащими странами

А еще в Венгрии и прилежащих странах платные дороги - сразу узнавайте виньетки в комплекте или нет