В Южной Корее по кете обязательно вопросы задают, чтобы распечатки показать, или это в случае подозрений?

Чаще всего не спрашивают вообще ничего. Самый частый вопрос - когда обратно (ну или подобный)

По кете спрашивают при вылете. Корейцам эта распечатка без надобности, они по паспорту в базе всё видят.

Корейцы при подозрениях уже больше спрашивают про деньги, турплан и т.п.