Перенесли вылет из Рима на один день вперед, а виза была ровно под даты вылета. Подскажите, могут ли быть проблемы, если задержимся в Италии на один день в таком случае?

Вам не перенесли ультимативно, а дали выбор - согласиться с новой датой или нет. И это ваше решение, если вы решили согласиться вылететь на день позднее, за пределами срока визы, тем самым нарушая миграционное законодательство ЕС.