Подскажите пожалуйста, можно ли в polemidia national park жарить шашлык?

Только там где зоны Picnic Site, в указанном вами парке нет такой зоны.

Там есть столики и можно делать пикник, знакомые даже там дни рождений детей праздновали (столы занимаете сами чем раньше, тем лучше), но жарить мясо там точно нельзя, стационарных мангалов нет, возможно, поскольку этот сайт в черте города.

Нет. Только приезжать с готовой едой. Это парк. Не пикник сайт. Ближайший за Лимассолом - Агиа Параскеви.