Еду в Швейцарию по приглашению с частным визитом, проживание -питание берет на себя приглашающая сторона, у них внж. Вопрос: нужно ли приглашающей стороне подтверждать своё приглашение в миграционной службе или ещё где?

Приглашающей стороне ничего не нужно. Это вам нужно подтвердить то, что вас приглашают и имеют средства вас содержать.

Для этого нужно собрать документы по списку для гостевой визы

Вы прикладываете со своей стороны приглашение, билеты, выписку с банковской карты и пр. У приглашающей стороны консульство затребует подтверждение. И им обязательно надо будет подтвердить что имеют достаточно денег, раз берут на себя обязательство на ваше содержание.