Подскажите пожалуйста, если загранпаспорт заканчивается в конце апреля, разрешат прилететь в Азербайджан?

Паспорт должен быть действителен на момент пересечения границы и разумеется при выезде тоже. Если вы собрались в Азербайджан, то проблем не будет, по другим странам надо уже смотреть, у каждой свои требования.