Подскажите, если кто знает, как происходит смена работодателя в Венгрии (ВНЖ National card)?

Сравнительно не легко. Работодатель новый готовит доки и вы в миграции их подаете с прошением остаться в ЕС до момента смены, она либо одобрит прошение либо сообщит что вам необходимо дожидаться решения за пределами ЕС. В первом случае никуда уезжать не надо, но ждать от месяца до даже полугода можно. Во втором после одобрения вам нужно как то попасть обратно в ЕС, то есть работодатель может по предварительно заверенной доверенности забрать ваше внж и как то переслать вам . Но лучший вариант это получить все документы работодателя и подать на Территории РФ на новую визу. И через месяц уже быть снова в Венгрии