В январе планирую лететь в Корею по K-eta. Въехав, хотим расписаться с молодым человеком ( гражданин Кореи) и податься на визу.

Можно расписаться, но виза въездная.

На визу можно податься если у вас долгосрочная виза корейская уже есть(и она еще на 6мес или больше) или беременность больше 20 недель

Можно, если документы примут на рассмотрение, то они продлевают статус пребывания, но вам лучше сказать при подаче, сколько у вас времени осталось

У вас же молодой человек - кореец. Пусть звонит в иммигрешку и спрашивает можно или нет в вашей ситуации так сделать.