Скажите пожалуйста, в каком банке русским можно открыть карту,в Будапеште ? была в otp, сказали русским не дают.

Если у вас есть ВНЖ, можете попробовать Raiffeisen или K&H. Как повезет, но шансы есть. OTP обладателям паспортов РФ не открывает в принципе.