Подскажите, пожалуйста, на Кипре первый раз, собираемся арендовать жилье на год.

может быть в разные.

никаких денег до подписания договора.

если деньги передаете наличными - то обязательно с подтверждением (расписка/чек/хотя бы сообщение в вотсапе от хозяина "деньги получил"), а так обычно безналичный перевод, в банковском приложении все видно.

Договор регистрируется в налоговой, если превышает суммы (а почти все долгосрочные превышают)