Прилетаю рано утром во Фьюминчино и планирую ехать на поезде до Рима. Скажите, можно купить билет в автомате за наличные или только карта? Или лучше вообще в кассе?

Можно

Идите по указателям к жд станции в аэропорту, перед перроном будут кассы с кассирами, будут и автоматы, принимают и наличку, и карты

Как угодно. Есть касса, есть автоматы с оплатой по карте либо наличными