Нам хотелось бы жить в Италии не в отелях, а снимать квартиру. В каких приложениях это можно сделать?

Airbnb, но там нужна иностранная карта.

На букинге есть квартиры, в Airbnb

Апартаменты будет снимать выгоднее, если бюджет небольшой.

С оплатой картой РФ можно найти на трип ком и тд

В район Флоренции удобно и бюджетно останавливаться в Монтекатини-Терме, оттуда можно доехать быстро до Флоренции, Лукки, Пизы и Сиены. Очень рекомендую.

Еще, тк вы на авто, можно было рассмотреть варианты жить не в центре города, а в гостиницах по типу агритуризмо. Наберите в интернете гляньте, что это. Мне кажется, под ваш случай лучше городских отелей.

Также смотрите гостевые дома.