Подскажите, запрещено ли записаться в разных странах на продление загранпаспорта РФ, ну например в Сербии и в Армении ?

Одновременно можно во все консульства - какая очередь быстрее подойдет туда и идти.

Но в Армению придется дважды лететь - подавать и забирать, а это сравнимо с услугами консул прайм в БГ.

И еще не на продление паспорта, а на «замену» или «в дополнение действующему».

Везде можно, если у вас на момент подачи на загранпаспорт (2-6 мес) можно легально пребывать это время в стране, в консульстве вам прямо скажут