Планирую в Сербии, в Белграде бронировать жилье через booking. Точно ли владельцы объекта оформляют белый картон?

Кроме как через владельца - никак. Можно сделать белый картон через хостел.

Когда я пришёл регистрироваться по адресу долгосрочной аренды, в полиции отмахнулись от моего первого белого картона с Airbnb и сказали забыть

Там после брони можно общаться с владельцем. Сделайте отменяемую бронь и уточняйте. Если ответит, что не делает, - отменяйте. Если вдруг ответит, что сделает, но не сделает, переписка будет доказательством его вины (а регистрация - это исключительно ответственность хозяина). Только не отменяйте бронь по его просьбе, бывает, что просят это сделать, чтобы не платить комиссию Букингу. Тогда вы не докажете, что проживали в этом объекте