Подскажите, пожалуйста, что, живя в Летоянни, советуете объездить (без машины-автобусы/поезда) за 10 дней?

Смотрите на сайте Interbus It куда можно на автобусах доехать. Многое через Таормину только.

Ну, за 10 дней, на самом деле, можно большую часть острова объездить, если ставить себе цель - один день, одно место. Таормина (30 минут автобус), Катания (полтора часа), Этна (либо через Катанию, либо отдельным туром), Сиракуза (3 часа), Ното (4 часа) - вот вам уже 5 дней расписаны. Потом, что мешает добраться до Мессины, а оттуда уже на запад махнуть - Палермо, Чефалу и так далее.

Тут главное желание увидеть как можно больше, а не типичный лежачий отпуск: проснусь в обед, проведу на пляже полдня, и на часик куда-то махну поглазеть. Если "за часик", то только Таормина.