Подскажите, если российские права просрочены, могут завернуть на границе? Проверяют ли права вообще?

Завернут 100%

На границе права не смотрят, только СОР. Но в Монголии они не действительны иза даты окончания.

В Монголии могут оштрафовать

Вообще никто их не проверял

На въезде в ташанте не смотрели, а на выезде из Монголии в боршоо/хандагайты смотрели. Ещё в районе толбо-нуур нас местный дпс остановил и смотрел права.страховку местную не спросил

Сегодня заезжали в Ханх, наши в Мондах просили показывать водительские права, Монголы тоже смотрели, смотрят на просрочку

Я вам больше скажу, завернут и не оформят страховку это раз (ну может в Ханхе прокатит и то на вряд ли). Во вторых продление наших прав касается только РФ. Вы въезжаете в другое государство, у которого свои законы.