Если зарегистрироваться в отеле по прилёту в Ташкент, оформить карту, а потом поселится в апартаментах и не регистрироваться дальше, будут проблемы при вылете обратно? В апартаментах сложно с регистрацией.

По закону регистрация должна быть непрерывной. Теоретически может быть большой штраф например на границе. На практике пока такого не слышал, ну конечно если вы уложитесь в 14 дней (или другой срок если вы не гражданин РФ) Но так то должны и в апартаментах регистрировать по закону. Поговорите с хозяевами, может вопрос в деньгах (за регистрацию берут с хозяина). Спросите в курсе ли они про reg emehmon uz (можно зарегистрировать до 30 дней удаленно, без визитов в МВД).