Подскажите пожалуйста, если мама с ребёнком маленьким выезжает с России в Европу, спрашивают разрешение от второго родителя? Или если нет запрета, то просто выпускают?

Меня никогда не спрашивали. И не должны спрашивать. Свидетельство о рождении с собой имейте, и все

Не нужно разрешение, если запрета нет

Разрешение наши погранцы у меня не спрашивали. Но вот доверенность от второго родителя на представление интересов ребёнка в полном объёме до достижения им совершеннолетия на территории того же Шенгена, например, мне понадобилась и для Schulamt, и для Kinderarzt, и для Kindergeld, и самое главное для ABH при подаче заявления на ВНЖ.