Подскажите пожалуйста, запись на Шенген только на август. Может кто-то знает, есть ли возможность например в Сербии подать документы?

если у вас там ВНЖ есть. Вы можете подать в другой стране, если имеете там ВНЖ и проживаете там

Посмотрите другие визозаметрики, вроде в Новосибирске свободнее было, шенген вообще нельзя сделать в другой стране если вы не резидент

В Сербии достаточно сложно подать на визу гражданину РФ, вашему ВНЖ должно быть не меньше полугода, насколько помню, к тому же трудовой контракт надо предоставлять, договор на аренду жилья. И, нужно изначально понимать, что в глазах Посольства вы автоматически переходите в разряд потенциальных релокантов!