Подскажите, пожалуйста, потеряли российский паспорт в аэропорту ОАЭ и улетели как поступить?

получить новый в МФЦ. Если даже найдут, как вы заберете?

В а/п есть Lost and found. Всё найденное в а/п аккумулируется там.

Также можно заполнить форму на сайте про потерянное, если нашли - вам должны ответить.

dubaiairports ae/lost-and-found

Тут заполнить форму. Если (когда) найдется - документ забирать самому. Пересылать не будут.