В договоре аренды на новую квартиру на Кипре проглядел тот момент, что у меня дата заключения аренды 19 число, а дата оплаты 1 число каждого месяца.

Да обычно просто оплата прожитых дней и все, но первого числа. Не думаю даже что с этим будут какие-то проболемы, но уточните у лендлорда на всякий случай.

Была такая петрушка, но я заметил на этапе подписания. Просто попросил поправить. Думаю, что то же самое можно сделать и в легальной плоскости - выпустить дополнение к договору, где будет прописана оплата 19 числа каждого месяца. Ну то есть это то же самое "договориться с хозяином", но договориться именно на бумаге.