Скажите день прилета и день вылета считаются днями нахождения в Таджикистане?

Да, считается всё время нахождения на территории РТ

Если вы ночуете в гостинице, то гостиница сделает за вас регистрацию. Если у частников (Booking, AirBnb, etc.), то и с ними можно договориться, чтобы они сделали.

По всем данным, вы 15 дней в стране и необходимо сделать регистрацию, чтобы проблем не было.