Срок загранпаспорта в мае истекает. Скажите пожалуйста обязательно надо получать новый? Если нет, то потом посольство РФ в Баку даёт справку разрешение на Родину?

Однозначно нужно получать новый. С посольствами всё сложно. Туда пробиться, это надо умудриться. Зачем так рисковать?

есть чёткий регламент по безвизовому режиму с Аз, ваш паспорт должен действовать ещё 3 мес после выезда из страны.

однако решение уже на месте может принять погранец.

в некоторых случаях пропускают, в некоторых.... зачем вам эти риски?....