Подскажите пожалуйста можно ли по итальянской визе съездить в Будапешт? Если открыть ее в Риме а в середине поездки съездить в венгрию. Не было ли прецедентов ?

Конечно можно, между странами ЕС границ нет

Венгры вроде говорят норм, а вот в Германию и вроде Швейцарию (или Швецию) не стоит

Да, по итальянской шенгенской визе можно съездить в Будапешт, так как шенгенская виза позволяет свободно перемещаться между странами Шенгенской зоны. Главное — въехать в Шенген через Италию, как страна, выдавшая визу, но дальнейшие передвижения по другим странам не ограничиваются.