Подскажите, я правильно понимаю, регистрация в Ташкенте нужна если более 15 дней находишься в стране?

Всё правильно. Москве 21 мая 2021 года и г. Ташкенте 17 июня 2021 года. В соответствии с Соглашением граждане России, въезжающие в Узбекистан, освобождаются от обязанности регистрации в течение 15 дней с даты въезда.