Если на арендованной в Узбекистане машине пересекать границу, могут к чему-нибудь придраться?

Думаю не получится, потому что говорят что там либо ген.доверенность спрашивают либо чтобы машина была оформлена именно на вас, так ходили такие слухи, может кто-нибудь знает точную информацию

нельзя

Ну не то чтобы придраться) вас могут задержать как за попытку угона автомобиля, в договоре аренды АМ и доверенности должен быть пункт где вам разрешается покидать пределы РУз, только при таком раскладе вы сможете выехать заграницу не попав под раздачу.