Ситуация: заканчивается действие паспорта аккурат за один день до 6 месяцев выезда из страны. Но при этом будет новый, второй паспорт. Будут ли проблемы?

Летите по новому,

Можете написать в поддержку авиакомпании с просьбой поменять номер паспорта в брони билетов

Обычно они без проблем меняют если фамилия и имя полностью совпадают в старом и новом паспортах

Там не совсем 6 месяцев, а 180 дней. Получается, что у Вас чуть больше времени, что 1 день