Нужно выписаться с квартиры в Германии и переехать в другую страну, куда конкретно нужно обратиться, в районные центры где можно прописаться или в миграционную службу города?

если уезжаете из Германии, то тогда вас снимут с регистрации там же, где её оформляют - в ратхаусе или аналогичной конторе местной администрации. при выезде за рубеж они ещё просят подтверждение со стороны собственника о том, что вы выселились из жилья (если жильё у вас было съёмное)