Для поездки в Египет нужно ли разрешение от отца? Ребенку 14 лет летит с матерью.

Не нужно.

Если отец не подавал запрет на выезд из России, значит ничего не нужно. Один из родителей может без согласия второго родителя вылетать за границу.