Мама пожилая одна в Азербайджане. Может ли она написать бумагу в посольстве сыну на въезд через российскую сухопутную границу? Была такая информация, но не уверена что правда.

Нет не может

Нет, официально такой практики нет. Знаю точно что при сопровождении груза 200 близкие родственники как сопровождаюшие могут пересекать границу. И то необходимо заранее направлять документы на согласование.