Подскажите, пожалуйста, есть ли сейчас проблемы с обменом «старых» (старого образца) долларов на дирхам в Шардже?

глобально проблем нет.

Категорически не берут только доллары 1996г и старше, новыми можно платить в магазинах, сдачу дают дирхамами, а не очень новые берут без проблем в exchangе'ях