Мой молодой человек живёт в Великобритании, в Англии, у него имеется статус беженца. Могу ли я поехать с турист визой, обручиться с ним и там же поменять визу? И если можно то на какую визу?

нет, нельзя, ни marriage, ни civil partnership нельзя

подавайте на специальную визу для этого

С туристической визы внутри ЮК переход на другие типы виз запрещен.

Расписаться без особых забот можно в Грузии)