Если у российского загранпаспорта истекает срок, через месяц. Выпустят ли пограничники из Литвы?

Должны. Почему нет?

Выпускают до последнего дня срока действия. Полгода или три месяца до конца срока имеет значение при открытии визы. В последний день действия паспорта можете проходить границу, если у Вас айди карта ЕС, например.