Мы планируем забронировать жилье на Booking в Сеуле для четырех взрослых, но там не получается указать всех нас в бронировании. Как мы можем доказать нашу бронь, если в ней будет указан только тот, кто оформляет заказ?

На букинге можно и 5 человек уместить в бронировании:) Через слэш пишите.

Как вариант связаться с объектом размещения и попросить его вписать всех в бронирование и отправить вам. Я так делал для Китая.

Словами просто сказать, если спросят: летим вместе, живём тоже вместе.

У меня подруга на визу подавала и там брони жилья везде на моё имя были

Можно там все через запятую спокойно, я так делала для визы в японию