Подскажите, есть ли возможность на белорусскую карту положить доллары в каких нибудь банкоматах в Корее??

нет

В принципе нет возможности внесения наличных у большинства банков. рассчитывать не стоит.

Технически, конечно, хотелось, чтобы функция существовала

Банки не вводят функцию, по моему мнению, чтобы деньги оставались внутри страны

И не хотят в том числе заниматься переводами в другие страны