Подскажите по ситуации - Мама с ребёнком хочет поехать в Узбекистан, фамилия ребёнка (отца). Нужна ли доверенность от отца в этом случае ?

Доверенность на что? Конкретнее формулируйте вопросы. Для выезда из РФ разрешение второго родителя не требуется, если нет запрета на выезд. Нужно свидетельство о рождении, могут на погранконтроле спросить если разные фамилии.