Подскажите, реально ли найти жилье в Улан Баторе на 1-1,5 месяца?

Реально, но скорее всего будет заметно дороже, чем на долгий срок. Монголы обычно сдают 6+1, 12+1, редко 3+1. (Срок сдачи + 1 мес аванса, который возвращается при выезде, если в кв всё целое).

Если меньше срок, то будет почти как посуточно, хостел мб дешевле.

Это в общем виде, подробно спрашивайте у хозяев.