Скажите пожалуйста, можно ли на такси поехать с Ташкента в Шымкент?

Это неэффективно совсем. Долго границу проходить будете. Ну и ценник будет бодрый.

Лучше до границы на такси, ее пешком перейти и на казахской стороне куча таксистов до Шымкента - либо сборных, либо целиком машина.

Из Ташкента до границы через Яндекс Такси, в пункте назначения указать КПП ГиштКуприк

Нет. Никто на границе стоять 5 часов не будет