Попросила хозяина квартиры сделать белый картон, но он говорит, что полиции нужен мой паспорт лично, фото не прокатывает.

пару лет назад, когда первый раз в сербию приехал, у меня хозяйка паспорт тоже забирала, на следующий день принесла

это нормально

ну полиция может не сделать .. может сделать

Сами сходите с власником в полицейский участок (отдавать паспорт малознакомым людям я бы не стал)

Многое зависит от полицейского, принимающего документы. Но с большой вероятностью, если закончились сутки следующие за днем въезда, то вам откажут. Кстати власник может этот картон сделать никуда не ходя, на еуправе. Я в подобной ситуации срочно искал, кто картон сделает на свой адрес. Но может быть вам это и не столь критично на самом деле, картон понадобится в банке и гос учреждениях, если не планируется подобного до выезда из Сербии, то риск минимальный поиметь проблем из-за отсутствия картона