Подскажите, можно ли взять авто в аренду в одной стране, и оставить в другой стране Шенгена? И еще вопрос.

По шенгену можете перемещаться хоть поездом, хоть самолётом, хоть на собаках, хоть пешком. У вас только перемещение границы Шенгена однократное на въезд и выезд.

Наверняка можно у крупных прокатчиков. За двойную(тройную )цену..

См Booking car