Надо ли указывать в кете в Южную Корею что будешь жить с подругой в отеле в номере, или то, что будете тусить вдвоем не обязательно упоминать?

Смотря как планируете проходить границу, если каждая самостоятельно, то лучше не указывать, а если будете проходить вместе, то можно указать, и на контроле говорить, что Вы вдвоём.