Подскажите, если будет кемпинг в Узбекистане или съёмная квартира между гостиницами, как быть с регистрацией?

Миграционная служба Вас не зарегистрирует.

Если найдете того, кто согласится Вас у себя на весь срок пребывания в Узбекистане зарегистрировать, то можете без гостиниц, хоть в машине ночевать:) Если Вы будете по стране в постоянном движении, и систематически регистрироваться в какой-то гостинице по пути следования, даже порой ночуя в машине (палатке, случайный знакомый), то общая картина же сложится верной у пограничников - Вы путешествовали по Узбекистану.