Подскажите, после получения ВНЖ Сербии, если есть водительские права российские нужно ли переучиваться в Сербии, чтобы получить сербские?

В Сербии просто меняете Российские на Сербские, платите пошлину - ничего сдавать не надо.

Российские заберут, вроде отправляют в РФ, но тут не подскажу

Меняете права РФ на Срб (медкомиссия +пошлина) На правах будет пометка о замене (т. е. в другой стране Вам их уже не поменяют. Но если собираетесь в другую страну то зачем менять права РФ?

Российские права действуют. Можно к ним в дополнение сделать международные (в некоторых странах Европы просят их). Российские права можно будет обменять на сербские в течение года после получения ВНЖ. Переучиваться не надо будет. При замене ваши российские права должны будут отправить в Россию.