У меня вопрос. Я разведена и у меня есть несовершеннолетний ребенок ( 13 лет) и я хочу на 2 недели с ней съездить в Корею.

Если не стоит запрет от отца на выезд за границу, нечего не надо. Только свидетельство о рождении

Я оформляла такое, но не потребовалось. Нигде не спрашивали. Трудности возникли на таможне в Корее, т.к. моя фамилия отличалась от фамилии ребенка (вышла замуж), забирали на допрос. На допросе спросили билеты, бронь гостиниц, маршрутный лист, отпустили в течение 15мин примерно

Ни каких трудностей, разрешение от второго родителя не нужно(только если он специально не поставил запрет). Возьмите с собой свидетельство о рождении ребенка, в России на паспортном контроле, могут попросить, чтобы подтвердить родство.