Подскажите пожалуйста, нужна ли доверенность от второго родителя на ребенка при въезде в страну Монголия?

Сколько лет ребенку?

этот документ называется "согласие" делается за несколько минут, стоит копейки. Но вы будете спокойны что на границе не возникнет вопросов.

Возвращаться с границы с запретом на выезд будет гораздо неприятнее ))) чем провести несколько минут в очереди к нотариусу .

И да , штамп о гражданстве в свидетельство о рождении ребенка тоже поставьте.

C другим родителем - нет. Не родителю нужна нотариально заверенная

Достаточно свидетельство о рождении показать, где вы будете указаны. Никакой доверенности или согласия от второго родителя не требуется