Кто знает, нужно ли разрешение на нахождение в приграничной зоне? Например в Кяхте?

Если в Монголию едете транзитом то ничего не надо.

Если планируете например в Кяхте оставаться, то нужно, можете попасть в погранзону с загранпаспортом, якобы в Монголию ехали и быть в погранзоне какую то время, но если поймают без пропуска - штраф небольшой, но нервы и время отнимут на оформление, на заставу могут отвезти

Пересекал границу буквально пару дней назад (автостопом). На посту на въезде в Кяхту водителя спросили, подвезет ли меня до границы. Посмотрели загран и пропустили) могут банально не пустить, если едете конкретно в Кяхту.

Если проездом в Монголию, то на пункте пропуска показываете загранпаспорт. Если хотите находиться в городе, то должен быть обязательно оформлен пропуск, оформляется в управлении погранслужбы

Да! Но если сразу проезжать границу, то нет