Возможно ли перейти границу из России в Азербайджан, граждану Азербайджана? Типа Русский может перейти границу обратно в Россию, а можно ли Азербайджанцу вернуться в свою страну?

Нет Вообще то не только гр РФ могут пересечь , а любой иностранец

Там же другая логика - въезжать не может никто, выезжать только иностранцы. Причём не только в свою страну, но и в любую другую, россиянин, например, может хоть в Грузию, хоть в Иран (если виза туда есть), хоть паромом в Казахстан уплыть.