Подскажите, пожалуйста, если в стране исхода продать квартиру и в Израиль любым из способов перевести деньги, то как потом с налоговой разговаривать? Как «заофициалить» такое поступление на счёт?

Элементарно. Договор купли продажи недвижимости. Документы подтверждающие уплату налогов в стране исхода.

(или что эта продажа налогообложению не подлежит)

Начать с разговора в своем банке, рассказав им ситуацию и получить требования по дркументам, чтобы ваш перевод был принят

Процесс не быстрый

Если вы репатриант до 10 лет,то достаточно договора продажи,выписки из реестра и зачисления денег на счет. Выписка ЕПД 3х летней давности,что квартира принадлежала вам,тогда не потребуется справка из налоговой. Все это предварительно обсудить с банком. Просто сбросить им перевод,практически всегда воспринимается негативно,с учетом ситуации и т.д.