Можно ли уточнить, как быть студенту словацкого Вуза, который не сдал сессию? Есть ли вариант остаться в стране?

Смотря сколько предметов не сдано. Универ что говорит?

Вероятно в каких-то универах есть второй поток и еще принимают приглашки. Как вариант - перепоступить.

Перепоступать . По уму - в тот же ВУЗ, на ту же прогорамму, если не получается - в другой. Пока еще есть вузы, которые продлили прием. Если повезет - зачтут часть предметов с предыдущего обучения.

Часть обучения при этом будет платным.

Если перепоступите на тот же факультет в своём вузе, то в полицию ничего не надо нести. Так в СТУ было. Но если очень сложно там было учиться, то конечно лучше вуз полегче искать. Тогда надо новый приказ в полицию унести. На своей кафедре спросите когда приказы об отчислении они в полицию подают, в некоторых вузах приказы об отчислении только в сентябре уносят.